Calcolo Esempi

$(2 x^{2} y - 2 y^{2} + 2 x y) d x + (x^{2} - 2 y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x^{2} y - 2 y^{2} + 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y - 2 y^{2} + 2 x y]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} y - 2 y^{2} + 2 x y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x^{2} y$ rispetto a $y$ è $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y^{2}$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 4 y + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 4 y + 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 4 y + 2 x \cdot 1$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 4 y + 2 x$

Passaggio 1.6

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 x - 4 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{2} - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Passaggio 2.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x^{2} + 2 x - 4 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x^{2} + 2 x - 4 y = 2 x$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 x^{2} + 2 x - 4 y = 2 x$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 x^{2} + 2 x - 4 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4 y - (2 x)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x^{2} - 2 y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x^{2} - 2 y$ a $N$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4 y - (2 x)}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4 y - 2 x}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 y + 0}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 4.3.2.3

Somma $2 x^{2} - 4 y$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 y}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 4.3.2.4

Scomponi $2$ da $2 x^{2} - 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 4 y}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Scomponi $2$ da $- 4 y$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 y)}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 4.3.2.4.3

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (- 2 y)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int 2 d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(2 x^{2} y - 2 y^{2} + 2 x y) d x + (x^{2} - 2 y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $2 x^{2} y - 2 y^{2} + 2 x y$ per $e^{2 x}$ .

$(2 x^{2} y - 2 y^{2} + 2 x y) e^{2 x} d x + (x^{2} - 2 y) d y = 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}) d x + (x^{2} - 2 y) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x^{2} - 2 y$ per $e^{2 x}$ .

$(2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}) d x + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} d y = 0$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}) d x + (x^{2} e^{2 x} - 2 y e^{2 x}) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} e^{2 x} - 2 y e^{2 x} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = x^{2} e^{2 x} - 2 y e^{2 x}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int x^{2} e^{2 x} d y + \int - 2 y e^{2 x} d y$

Passaggio 8.2

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + C + \int - 2 y e^{2 x} d y$

Passaggio 8.3

Poiché $- 2 e^{2 x}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 2 e^{2 x}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + C - 2 e^{2 x} \int y d y$

Passaggio 8.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + C - 2 e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 8.5

Semplifica.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Passaggio 8.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + \frac{- 2}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Passaggio 8.6.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + \frac{2 \cdot - 1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Passaggio 8.6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} e^{2 x} y^{2} + C$

Passaggio 8.6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} e^{2 x} y^{2} + C$

Passaggio 8.6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y + \frac{- 1}{1} e^{2 x} y^{2} + C$

Passaggio 8.6.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y - e^{2 x} y^{2} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y - e^{2 x} y^{2} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x} y - e^{2 x} y^{2} + g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} e^{2 x} y - e^{2 x} y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} e^{2 x} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$y (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$y (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$y (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.3.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.3.8

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{2 x} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Poiché $- y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{2 x} y^{2}$ rispetto a $x$ è $- y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.4.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.4.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.4.6

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - y^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.4.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - 2 y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) - 2 y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (x^{2} (2 e^{2 x})) + y (e^{2 x} (2 x)) - 2 y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.6.2

Rimuovi le parentesi.

$y x^{2} (2 e^{2 x}) + y e^{2 x} (2 x) - 2 y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.6.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x^{2} y + 2 e^{2 x} x y - 2 e^{2 x} y^{2} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 11.6.4

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x^{2} y + 2 e^{2 x} x y - 2 e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 x y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 12.1.1

Sottrai $2 x^{2} y e^{2 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x}$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $2 x y e^{2 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 x y e^{2 x}$

Passaggio 12.1.3

Somma $2 y^{2} e^{2 x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Passaggio 12.1.4

Combina i termini opposti in $2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$ .

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Passaggio 12.1.4.1

Sottrai $2 x^{2} y e^{2 x}$ da $2 x^{2} y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x} + 0 - 2 x y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Passaggio 12.1.4.2

Somma $- 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x y e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Passaggio 12.1.4.3

Sottrai $2 x y e^{2 x}$ da $2 x y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 0 + 2 y^{2} e^{2 x}$

Passaggio 12.1.4.4

Somma $- 2 y^{2} e^{2 x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Passaggio 12.1.4.5

Somma $- 2 y^{2} e^{2 x}$ e $2 y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Passaggio 13.3

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Passaggio 13.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y - e^{2 x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y - e^{2 x} y^{2} + C$

Passaggio 15

Riordina i fattori in $f (x, y) = x^{2} e^{2 x} y - e^{2 x} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y e^{2 x} - y^{2} e^{2 x} + C$