Calcolo Esempi

$y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 y t + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t + 1]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y t + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Poiché $2 y t$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y t$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 y = 0$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 y = 0$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (2 y)}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $y^{2}$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $y^{2}$ a $M$ .

$\frac{0 - (2 y)}{y^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{0 - 2 y}{y^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $2 y$ da $0$ .

$\frac{- 2 y}{y^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $y$ da $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2}{y^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

Passaggio 4.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{y}$

Passaggio 4.3.4

Sostituisci $y^{2}$ a $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| y |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $y^{2}$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2 y t + 1$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + (2 y t + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $2 y t + 1$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = 1$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Passaggio 11.5

Somma $0$ e $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Passaggio 12

Trova l'antiderivata di $\frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

Passaggio 12.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

Passaggio 12.3

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y$

Passaggio 12.4

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{2 \cdot - 1} d y$

Passaggio 12.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{- 2} d y$

Passaggio 12.5

Espandi $(2 y t + 1) y^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y$

Passaggio 12.5.2

Moltiplica $y^{- 2}$ per $1$ .

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + y^{- 2} d y$

Passaggio 12.6

Moltiplica $y$ per $y^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.1

Sposta $y^{- 2}$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y) t + y^{- 2} d y$

Passaggio 12.6.2

Moltiplica $y^{- 2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y^{1}) t + y^{- 2} d y$

Passaggio 12.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g (y) = \int 2 y^{- 2 + 1} t + y^{- 2} d y$

Passaggio 12.6.3

Somma $- 2$ e $1$ .

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t + y^{- 2} d y$

Passaggio 12.7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t d y + \int y^{- 2} d y$

Passaggio 12.8

Poiché $2 t$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2 t$ fuori dall'integrale.

$g (y) = 2 t \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y$

Passaggio 12.9

L'integrale di $y^{- 1}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) + \int y^{- 2} d y$

Passaggio 12.10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) - y^{- 1} + C$

Passaggio 12.11

Semplifica.

$g (y) = 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

Passaggio 13

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

Passaggio 14

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica $2 \ln (| y |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = x + t \ln ({| y |}^{2}) - \frac{1}{y} + C$

Passaggio 14.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$f (x, y) = x + t \ln (y^{2}) - \frac{1}{y} + C$