Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ , $y (0) = 2$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{y})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{y}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

Passaggio 1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

Passaggio 1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = - x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = - x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int - x d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{2}$ nel numeratore.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$

Passaggio 5

Poiché $y$ è positiva nella condizione iniziale $(0, 2)$ , considera solo $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ per calcolare $K$ . Sostituisci $0$ a $x$ e $2$ a $y$ .

$2 = \sqrt{- 0^{2} + K}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{- 0^{2} + K} = 2$ .

$\sqrt{- 0^{2} + K} = 2$

Passaggio 6.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{- 0^{2} + K}}^{2} = 2^{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- 0^{2} + K}$ come ${(- 0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ${({(- 0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- 0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 0^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- 0^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- 0^{2} + K)}^{1} = 2^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(- 0 + K)}^{1} = 2^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.3

Semplifica aggiungendo gli zeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.3.1

Somma $0$ e $K$ .

$K^{1} = 2^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.3.2

Semplifica.

$K = 2^{2}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$K = 4$

Passaggio 7

Sostituisci $4$ a $K$ in $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $4$ a $K$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 4}$

Passaggio 7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 2^{2}}$

Passaggio 7.3

Riordina $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$y = \sqrt{2^{2} - x^{2}}$

Passaggio 7.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = x$ .

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$