Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} + y$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $\frac{1}{y^{2}} + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Per scrivere $y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{1}{\frac{1 + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.2.1

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.2.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1} y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.1.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1 + 2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.1.3.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{3}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1^{2} - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.1.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.1.3.4.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\int 1 \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})}$ per $1$ .

$\int \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Allora $d u = 3 y^{2} d y$ , quindi $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y + y^{2})]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = 1 + y$ e $g (y) = 1 - y + y^{2}$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y + y^{2}] + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - y + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.2.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.2.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.2.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.2.1.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(1 + y) (- 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.2.1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.2.1.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.2.2.1.3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.2.2.1.3.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.2.1.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.3.12

Moltiplica $1 - y + y^{2}$ per $1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + 1 - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$- 1 - 1 \cdot y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$- 1 - y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 1 - y + 2 y + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4.5

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y) + 1 - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4.6

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y^{1}) + 1 - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{1 + 1} + 1 - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4.8

Somma $1$ e $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4.9

Somma $- y$ e $2 y$ .

$- 1 + y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4.10

Somma $- 1$ e $1$ .

$y + 2 y^{2} + 0 - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4.11

Somma $y + 2 y^{2}$ e $0$ .

$y + 2 y^{2} - y + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4.12

Sottrai $y$ da $y$ .

$2 y^{2} + 0 + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4.13

Somma $2 y^{2}$ e $0$ .

$2 y^{2} + y^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.4.4.14

Somma $2 y^{2}$ e $y^{2}$ .

$3 y^{2}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) = x + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Espandi $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.2

Moltiplica $- y$ per $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y \cdot y + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.6

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1.6.1

Sposta $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - (y \cdot y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.6.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.7

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1.7.1

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1.7.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1} y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.7.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1 + 2} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.7.2

Somma $1$ e $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.2.1

Combina i termini opposti in $1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.2.1.1

Somma $- y$ e $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.1.2

Somma $1 + y^{2}$ e $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.1.3

Sottrai $y^{2}$ da $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.1.4

Somma $1$ e $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.2

$\frac{1}{3}$ e $\ln (| 1 + y^{3} |)$ .

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 (x + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 1 + y^{3} |)} = e^{3 x + 3 C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 x + 3 C} = | 1 + y^{3} |$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$ .

$| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$

Passaggio 3.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C}$

Passaggio 3.5.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C} - 1$

Passaggio 3.5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + 3 C} - 1}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + C} - 1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{3 x + C}$ come $e^{3 x} e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x} e^{C} - 1}$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{3 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{C} e^{3 x} - 1}$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \sqrt[3]{C e^{3 x} - 1}$