Calcolo Esempi

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} y^{3} = x^{4}$

Passaggio 1

Sia $v = y^{3}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y^{3}$ con $v$ .

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $y^{3}$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} y'$

Passaggio 3

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $3 y^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 y^{2} \frac{\frac{d v}{d x}}{3 y^{2}} + x^{- 1} v = x^{4}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{x}$ e $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x^{4}$

Passaggio 4

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $v$ da $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = x^{4}$

Passaggio 4.2

Riordina $v$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Passaggio 5

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 5.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 5.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (x)}$

Passaggio 5.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x$

Passaggio 6

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x$ .

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Passaggio 6.1

Moltiplica ogni termine per $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x \cdot x^{4}$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1

$\frac{1}{x}$ e $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Passaggio 6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d v}{d x} + v = x \cdot x^{4}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

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Passaggio 6.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1} x^{4}$

Passaggio 6.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1 + 4}$

Passaggio 6.3.2

Somma $1$ e $4$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{5}$

Passaggio 7

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x v] = x^{5}$

Passaggio 8

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int x^{5} d x$

Passaggio 9

Integra il lato sinistro.

$x v = \int x^{5} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$

Passaggio 11

Dividi per $x$ ciascun termine in $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ e semplifica.

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Passaggio 11.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 11.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 11.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 11.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 11.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 11.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ e $x$ .

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Passaggio 11.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 11.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 11.3.1.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 11.3.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 11.3.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{5}}{1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 11.3.1.1.2.5

Dividi $\frac{1}{6} x^{5}$ per $1$ .

$v = \frac{1}{6} x^{5} + \frac{C}{x}$

Passaggio 11.3.1.2

$\frac{1}{6}$ e $x^{5}$ .

$v = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $y^{3}$ .

$y^{3} = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Passaggio 13

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 13.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$

Passaggio 13.2

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$ .

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Passaggio 13.2.1

Per scrivere $\frac{x^{5}}{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x}}$

Passaggio 13.2.2

Per scrivere $\frac{C}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Passaggio 13.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6 x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 13.2.3.1

Moltiplica $\frac{x^{5}}{6}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Passaggio 13.2.3.2

Moltiplica $\frac{C}{x}$ per $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{x \cdot 6}}$

Passaggio 13.2.3.3

Riordina i fattori di $x \cdot 6$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{6 x}}$

Passaggio 13.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x + C \cdot 6}{6 x}}$

Passaggio 13.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.1

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.1.1

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x^{1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Passaggio 13.2.5.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5 + 1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Passaggio 13.2.5.1.2

Somma $5$ e $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + C \cdot 6}{6 x}}$

Passaggio 13.2.5.2

Sposta $6$ alla sinistra di $C$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$

Passaggio 13.2.6

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$ come $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$

Passaggio 13.2.7

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Passaggio 13.2.8

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 13.2.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{\sqrt[3]{6 x} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Passaggio 13.2.8.2

Eleva $\sqrt[3]{6 x}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Passaggio 13.2.8.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1 + 2}}$

Passaggio 13.2.8.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{3}}$

Passaggio 13.2.8.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{6 x}}^{3}$ come $6 x$ .

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Passaggio 13.2.8.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{6 x}$ come ${(6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{({(6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 13.2.8.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 13.2.8.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 13.2.8.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.8.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 13.2.8.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{1}}$

Passaggio 13.2.8.5.5

Semplifica.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{6 x}$

Passaggio 13.2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.2.9.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{6 x}}^{2}$ come $\sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}}{6 x}$

Passaggio 13.2.9.2

Applica la regola del prodotto a $6 x$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{6^{2} x^{2}}}{6 x}$

Passaggio 13.2.9.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{36 x^{2}}}{6 x}$

Passaggio 13.2.10

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$

Passaggio 13.2.11

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + 6 C)}}{6 x}$

Passaggio 14

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + C)}}{6 x}$