Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 1.3

Scomponi $y$ da $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3 x + 1}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 1.4

Riordina $y$ e $\frac{3 x + 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x + 1}{x} y = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{3 x + 1}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{3 x + 1}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{3 x + 1}{x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$e^{\int \frac{3 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.3.2

Dividi $3$ per $1$ .

$e^{\int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola costante.

$e^{3 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{3 x + C + \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$e^{3 x + \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{3 x + \ln (x)}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{3 x + \ln (x)}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{3 x + \ln (x)}$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} (\frac{3 x + 1}{x} y) = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{3 x + 1}{x}$ e $y$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} \frac{(3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 3.2.2

$e^{3 x + \ln (x)}$ e $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 3.3

Per scrivere $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $e^{3 x + \ln (x)}$ da $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Scomponi $e^{3 x + \ln (x)}$ da $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 3.5.1.2

Scomponi $e^{3 x + \ln (x)}$ da $e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 3.5.1.3

Scomponi $e^{3 x + \ln (x)}$ da $e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + 1 y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

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Passaggio 3.6.1

$e^{3 x + \ln (x)}$ e $\frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x)} e^{- 3 x}}{x}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $e^{3 x + \ln (x)}$ per $e^{- 3 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.6.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x) - 3 x}}{x}$

Passaggio 3.6.2.2

Combina i termini opposti in $3 x + \ln (x) - 3 x$ .

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Passaggio 3.6.2.2.1

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{0 + \ln (x)}}{x}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Somma $0$ e $\ln (x)$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 3.7

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

Passaggio 3.8

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

Passaggio 3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$

Passaggio 3.9

Riordina i fattori in $\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 3 x y + y)}{x} = 1$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] = 1$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] d x = \int d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{3 x + \ln (x)} y = \int d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{3 x + \ln (x)}$ ciascun termine in $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{3 x + \ln (x)}$ ciascun termine in $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{3 x + \ln (x)}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$