Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 1 + 6 x e^{x - y}$

Passaggio 1

Sia $v = e^{x - y}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x - y}$ con $v$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + 6 x v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $e^{x - y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{x - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = 1 + 6 x v$

Passaggio 5

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi per $\frac{d v}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d v}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 1 + 6 x v - 1$

Passaggio 5.1.1.2

Combina i termini opposti in $1 + 6 x v - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v + 0$

Passaggio 5.1.1.2.2

Somma $6 x v$ e $0$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$

Passaggio 5.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{6 x v}{- 1}$

Passaggio 5.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{6 x v}{- 1}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Dividi $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ per $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{- 1}$

Passaggio 5.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{6 x v}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot (6 x v)$

Passaggio 5.1.2.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot (6 x v)$ come $- (6 x v)$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - (6 x v)$

Passaggio 5.1.2.3.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 6 x v$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica ogni lato per $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = - 6 x v \cdot v$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = - 6 x v \cdot v$

Passaggio 5.1.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = - 6 x v \cdot v$

Passaggio 5.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Moltiplica $v$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.1

Sposta $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 6 x (v \cdot v)$

Passaggio 5.1.4.2.1.2

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 6 x v^{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (- 6 x v^{2})$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = - 6 \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

Passaggio 5.3.2

$- 6$ e $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (x v^{2})$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $v^{2}$ da $x v^{2}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (v^{2} x)$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (v^{2} x)$

Passaggio 5.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = - 6 x$

Passaggio 5.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v^{2}} d v = - 6 x d x$

Passaggio 6

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int - 6 x d x$

Passaggio 6.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Sposta $v^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int - 6 x d x$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int - 6 x d x$

Passaggio 6.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int - 6 x d x$

Passaggio 6.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $v^{- 2}$ rispetto a $v$ è $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int - 6 x d x$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi $- v^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int - 6 x d x$

Passaggio 6.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 6$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 \int x d x$

Passaggio 6.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 6.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Riscrivi $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

$- 6$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 3 x^{2} + C_{2}$

Passaggio 6.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$

Passaggio 7

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$v, 1, 1$

Passaggio 7.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$v$

Passaggio 7.2

Moltiplica per $v$ ciascun termine in $- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$ per $v$ .

$- \frac{1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{v}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Passaggio 7.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Passaggio 7.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - 3 x^{2} v + K v$

Passaggio 7.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 x^{2} v + K v = - 1$ .

$- 3 x^{2} v + K v = - 1$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $v$ da $- 3 x^{2} v + K v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Scomponi $v$ da $- 3 x^{2} v$ .

$v (- 3 x^{2}) + K (v) = - 1$

Passaggio 7.3.2.2

Scomponi $v$ da $K v$ .

$v (- 3 x^{2}) + v (K) = - 1$

Passaggio 7.3.2.3

Scomponi $v$ da $v (- 3 x^{2}) + v (K)$ .

$v (- 3 x^{2} + K) = - 1$

Passaggio 7.3.3

Dividi per $- 3 x^{2} + K$ ciascun termine in $v (- 3 x^{2} + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Dividi per $- 3 x^{2} + K$ ciascun termine in $v (- 3 x^{2} + K) = - 1$ .

$\frac{v (- 3 x^{2} + K)}{- 3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Passaggio 7.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3 x^{2} + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v (- 3 x^{2} + K)}{- 3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Passaggio 7.3.3.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Passaggio 7.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$v = - \frac{1}{- 3 x^{2} + K}$

Passaggio 7.3.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2}) + K}$

Passaggio 7.3.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $K$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2}) - 1 (- K)}$

Passaggio 7.3.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (- K)$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2} - K)}$

Passaggio 7.3.3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.5.1

Riscrivi $- (3 x^{2} - K)$ come $- 1 (3 x^{2} - K)$ .

$v = - \frac{1}{- 1 (3 x^{2} - K)}$

Passaggio 7.3.3.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$v = - - \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Passaggio 7.3.3.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$v = 1 \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Passaggio 7.3.3.3.5.4

Moltiplica $\frac{1}{3 x^{2} - K}$ per $1$ .

$v = \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Passaggio 8

Semplifica la costante dell'integrazione.

$v = \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{x - y}$ .

$e^{x - y} = \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Passaggio 10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x - y}) = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Passaggio 10.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Espandi $\ln (e^{x - y})$ spostando $x - y$ fuori dal logaritmo.

$(x - y) \ln (e) = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Passaggio 10.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(x - y) \cdot 1 = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $x - y$ per $1$ .

$x - y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Passaggio 10.3

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$

Passaggio 10.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Passaggio 10.4.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Passaggio 10.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{- x}{- 1}$

Passaggio 10.4.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$ come $- \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$ .

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{- x}{- 1}$

Passaggio 10.4.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{x}{1}$

Passaggio 10.4.3.1.4

Dividi $x$ per $1$ .

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + x$