Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Passaggio 2.3.5

Sia $u = 16 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Sia $u = 16 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $16 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.3.5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.5.1.2.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 2.3.5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 2.3.5.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.3.6.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.6.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 2.3.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.10.1

Semplifica.

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Passaggio 2.3.10.1.1

$\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.10.1.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

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Passaggio 2.3.10.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.10.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.10.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.10.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.10.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.10.1.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.10.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.10.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.10.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.10.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.10.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.10.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.10.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Passaggio 2.3.12

Semplifica.

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Passaggio 2.3.12.1

Semplifica.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 4 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.3.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $16 - x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 2 x^{2} - 4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$