Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - e^{- x}}{y + e^{y}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y + e^{y}$ .

$(y + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (y + e^{y}) \frac{x - e^{- x}}{y + e^{y}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y + e^{y}$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$(y + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (y + e^{y}) \frac{x - e^{- x}}{y + e^{y}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(y + e^{y}) \frac{d y}{d x} = x - e^{- x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(y + e^{y}) d y = (x - e^{- x}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y + e^{y} d y = \int x - e^{- x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y d y + \int e^{y} d y = \int x - e^{- x} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int e^{y} d y = \int x - e^{- x} d x$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + e^{y} + C_{2} = \int x - e^{- x} d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \int x - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \int x d x + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.4

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.4.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.4.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - \int - e^{u} d u$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - - \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + 1 \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $\int e^{u} d u$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + e^{u} + C_{5}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + e^{u} + C_{6}$

Passaggio 2.3.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + e^{- x} + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} = \frac{1}{2} x^{2} + e^{- x} + K$