Calcolo Esempi

$(3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x^{2} y$ rispetto a $y$ è $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 x + 3 y^{2}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.4

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Passaggio 2.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x = 2 x$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x = 2 x$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x - (2 x)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x^{2} + y^{2}$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x^{2} + y^{2}$ a $N$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x - (2 x)}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x - 2 x}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 0}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.2.3

Somma $3 x^{2} + 3 y^{2}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.2.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Scomponi $3$ da $3 y^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.2.4.3

Scomponi $3$ da $3 (x^{2}) + 3 (y^{2})$ .

$\frac{3 (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 3 d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int 3 d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{3 x + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{3 x} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}$ per $e^{3 x}$ .

$(3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}) e^{3 x} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x^{2} + y^{2}$ per $e^{3 x}$ .

$(3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}) d x + (x^{2} + y^{2}) e^{3 x} d y = 0$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}) d x + (x^{2} e^{3 x} + y^{2} e^{3 x}) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} e^{3 x} + y^{2} e^{3 x} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = x^{2} e^{3 x} + y^{2} e^{3 x}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int x^{2} e^{3 x} d y + \int y^{2} e^{3 x} d y$

Passaggio 8.2

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + C + \int y^{2} e^{3 x} d y$

Passaggio 8.3

Poiché $e^{3 x}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $e^{3 x}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + C + e^{3 x} \int y^{2} d y$

Passaggio 8.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + C + e^{3 x} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Passaggio 8.5

Semplifica.

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} e^{3 x} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$y (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$y (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.3.8

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

$\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{e^{3 x}}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.4.2

$\frac{e^{3 x}}{3}$ e $y^{3}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{e^{3 x} y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.4.3

Poiché $\frac{y^{3}}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{e^{3 x} y^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.4.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.4.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.4.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.4.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.4.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.4.8

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.4.9

$3$ e $\frac{y^{3}}{3}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{3 y^{3}}{3} e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.4.10

$\frac{3 y^{3}}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{3 y^{3} e^{3 x}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.4.11

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.11.1

Elimina il fattore comune.

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{3 y^{3} e^{3 x}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.4.11.2

Dividi $y^{3} e^{3 x}$ per $1$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + y^{3} e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + y^{3} e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (x^{2} (3 e^{3 x})) + y (e^{3 x} (2 x)) + y^{3} e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.6.2

Rimuovi le parentesi.

$y x^{2} (3 e^{3 x}) + y e^{3 x} (2 x) + y^{3} e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.6.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} x^{2} y + 2 e^{3 x} x y + e^{3 x} y^{3} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 11.6.4

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} x^{2} y + 2 e^{3 x} x y + e^{3 x} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $3 x^{2} y e^{3 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 3 x^{2} y e^{3 x}$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $2 x y e^{3 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{3 x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 3 x^{2} y e^{3 x} - 2 x y e^{3 x}$

Passaggio 12.1.3

Sottrai $y^{3} e^{3 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 3 x^{2} y e^{3 x} - 2 x y e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 12.1.4

Combina i termini opposti in $3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 3 x^{2} y e^{3 x} - 2 x y e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1

Sottrai $3 x^{2} y e^{3 x}$ da $3 x^{2} y e^{3 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} + 0 - 2 x y e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 12.1.4.2

Somma $2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 2 x y e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 12.1.4.3

Sottrai $2 x y e^{3 x}$ da $2 x y e^{3 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{3 x} + 0 - y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 12.1.4.4

Somma $y^{3} e^{3 x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$

Passaggio 12.1.4.5

Sottrai $y^{3} e^{3 x}$ da $y^{3} e^{3 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Passaggio 13.3

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Passaggio 13.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

$\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{e^{3 x}}{3} y^{3} + C$

Passaggio 15.1.2

$\frac{e^{3 x}}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{e^{3 x} y^{3}}{3} + C$

Passaggio 15.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{e^{3 x} y^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y e^{3 x} + \frac{y^{3} e^{3 x}}{3} + C$