Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{2 y}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $e^{2 y}$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{2 x}{e^{2 y}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $e^{2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{2 x}{e^{2 y}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$e^{2 y} d y = 2 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int e^{2 y} d y = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 2 y$ . Allora $d u = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 2 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int 2 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 2 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (x^{2} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 y} = 2 (x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{2 y} = 2 x^{2} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{2 y})$ spostando $2 y$ fuori dal logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 y = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Passaggio 3.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (2 x^{2} + 2 K)$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \ln (2 x^{2} + 2 K)$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 x^{2} + 2 K)}{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 x^{2} + 2 K)}{2}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (2 x^{2} + 2 K)}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\ln (2 x^{2} + K)}{2}$