Calcolo Esempi

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x y^{2}$ ciascun termine in $x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x y^{2}$ ciascun termine in $x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$ .

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{y^{2} x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{y^{2} x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $- x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x y^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x (y^{2})}$

Passaggio 1.1.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x y^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione differenziale come $f (\frac{y}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ come ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{x}{y})}^{2}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{x}{y}$ come ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V - {(V^{- 1})}^{2}$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - {(V^{- 1})}^{2}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(V^{- 1})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 1 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.1.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 2}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - \frac{1}{V^{2}}$

Passaggio 6.1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V^{2}} - V$

Passaggio 6.1.1.2.2

Combina i termini opposti in $V - \frac{1}{V^{2}} - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} + 0$

Passaggio 6.1.1.2.2.2

Somma $- \frac{1}{V^{2}}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V^{2}}$

Passaggio 6.1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} (- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Passaggio 6.1.4.2

Combina.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} \frac{1 \cdot 1}{x V^{2}}$

Passaggio 6.1.4.3

Elimina il fattore comune di $V^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.3.1

Scomponi $V^{2}$ da $- V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{x V^{2}}$

Passaggio 6.1.4.3.2

Scomponi $V^{2}$ da $x V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{V^{2} x}$

Passaggio 6.1.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{V^{2} x}$

Passaggio 6.1.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 \cdot 1}{x}$

Passaggio 6.1.4.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$V^{2} d V = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int V^{2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $V^{2}$ rispetto a $V$ è $\frac{1}{3} V^{3}$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{3} V^{3} = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} V^{3}) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} V^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $V^{3}$ .

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$V^{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica $3 (- \ln (| x |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$V^{3} = 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$V^{3} = - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Passaggio 6.3.3

Semplifica $- 3 \ln (| x |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$V^{3} = - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Passaggio 6.3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Passaggio 6.4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Passaggio 8.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$