Calcolo Esempi

$(1 + y^{2} + x y^{2}) d x + (x^{2} y + y + 2 x y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 1 + y^{2} + x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + y^{2} + x y^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y^{2} + x y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y^{2}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + x (2 y)$

Passaggio 1.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 2 x y$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Somma $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 2 x y$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{2} y + y + 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + y + 2 x y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y + y + 2 x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.4

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y \cdot 1$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $2 y x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 y$

Passaggio 2.6.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 2 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x y + 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x y + 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x y + 2 y = 2 x y + 2 y$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 x y + 2 y = 2 x y + 2 y$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 + y^{2} + x y^{2} d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = 1 + y^{2} + x y^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int d x + \int y^{2} d x + \int x y^{2} d x$

Passaggio 5.2

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x + C + \int y^{2} d x + \int x y^{2} d x$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + \int x y^{2} d x$

Passaggio 5.4

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $y^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} \int x d x$

Passaggio 5.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Passaggio 5.7

Semplifica.

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Passaggio 5.8

Riordina i termini.

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.2.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{2} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.4

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.4.2

$\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.4.3

Poiché $\frac{x^{2}}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 2 x y + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x y + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.4.5

$2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.4.6

$\frac{2 x^{2}}{2}$ e $y$ .

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.4.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.7.1

Elimina il fattore comune.

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.4.7.2

Dividi $x^{2} y$ per $1$ .

$0 + 2 x y + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x y + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Somma $0$ e $2 x y$ .

$2 x y + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 8.6.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y + x^{2} y = x^{2} y + y + 2 x y$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y - x^{2} y$

Passaggio 9.1.3

Combina i termini opposti in $x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y - x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Sottrai $2 x y$ da $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 0 - x^{2} y$

Passaggio 9.1.3.2

Somma $x^{2} y + y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y - x^{2} y$

Passaggio 9.1.3.3

Sottrai $x^{2} y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Passaggio 9.1.3.4

Somma $y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $y$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Passaggio 10.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 12

Semplifica $f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 12.1.2

$\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 12.1.3

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.2

Somma $y^{2} x$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Riordina $y^{2}$ e $x$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x y^{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $x y^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x y^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.2.3

$x y^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2 + y^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2} \cdot 2 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.3.1.2

Moltiplica per $1$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

Passaggio 12.3.1.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Passaggio 12.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Passaggio 12.4

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Passaggio 12.5

$x$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Passaggio 12.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2 + y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Passaggio 12.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.7.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot x + y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Passaggio 12.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

Passaggio 12.7.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + 2 y^{2} x + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

Passaggio 12.7.4

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + 2 y^{2} x + y^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2} + 2 x + 2 y^{2} x + y^{2}}{2} + C$