Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} + 8 y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Sottrai $8 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x}$

Passaggio 1.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d y}{d x} + 9 y - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

Passaggio 1.3

Sottrai $8 y$ da $9 y$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

Passaggio 2

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $x y$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Passaggio 2.5

Riordina $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Passaggio 2.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$x y = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x y = \int \frac{d y}{d x} d x + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

Passaggio 6.2

Applica la regola costante.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

Passaggio 6.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 \int x^{2} d x + \int - 6 d x$

Passaggio 6.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 6 d x$

Passaggio 6.5

Applica la regola costante.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 6 x + C$

Passaggio 6.6

Semplifica.

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Passaggio 6.6.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 6 x + C$

Passaggio 6.6.2

Semplifica.

$x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$

Passaggio 7

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

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Passaggio 7.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $2 x^{3}$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.2.2.5

Dividi $2 x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.3.2

Dividi $- 6$ per $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} - 6 + \frac{C}{x}$