Calcolo Esempi

$e^{y} d x + (x + 1) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $e^{y} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(x + 1) d y = - e^{y} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(x + 1) e^{y}}$ .

$\frac{1}{(x + 1) e^{y}} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) e^{y}} (- e^{y}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x + 1$ da $(x + 1) e^{y}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (e^{y})} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) e^{y}} (- e^{y}) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x + 1) e^{y}} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) e^{y}} (- e^{y}) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{y}} d y = \frac{1}{(x + 1) e^{y}} (- e^{y}) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{e^{y}} d y = - \frac{1}{(x + 1) e^{y}} e^{y} d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(x + 1) e^{y}}$ nel numeratore.

$\frac{1}{e^{y}} d y = \frac{- 1}{(x + 1) e^{y}} e^{y} d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $e^{y}$ da $(x + 1) e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} d y = \frac{- 1}{e^{y} (x + 1)} e^{y} d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{y}} d y = \frac{- 1}{e^{y} (x + 1)} e^{y} d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{y}} d y = \frac{- 1}{x + 1} d x$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{e^{y}} d y = - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Sia $u_{1} = - y$ . Allora $d u_{1} = - d y$ , quindi $- d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sia $u_{1} = - y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Differenzia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 4.2.2.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

$- e^{u_{1}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- e^{- y} + C_{1} = - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u_{2} = x + 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u_{2} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.3.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- e^{- y} + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.4

Semplifica.

$- e^{- y} + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$- e^{- y} + C_{1} = - \ln (| x + 1 |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- e^{- y} = - \ln (| x + 1 |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{- y} = - \ln (| x + 1 |) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{- y} = - \ln (| x + 1 |) + C$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{- \ln (| x + 1 |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{- \ln (| x + 1 |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.1.2.2

Dividi $e^{- y}$ per $1$ .

$e^{- y} = \frac{- \ln (| x + 1 |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$e^{- y} = \frac{\ln (| x + 1 |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.1.3.1.2

Dividi $\ln (| x + 1 |)$ per $1$ .

$e^{- y} = \ln (| x + 1 |) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.1.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$e^{- y} = \ln (| x + 1 |) - 1 \cdot C$

Passaggio 5.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$e^{- y} = \ln (| x + 1 |) - C$

Passaggio 5.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- y}) = \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$

Passaggio 5.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Espandi $\ln (e^{- y})$ spostando $- y$ fuori dal logaritmo.

$- y \ln (e) = \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$

Passaggio 5.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- y = \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$

Passaggio 5.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (\ln (| x + 1 |) - C)}{- 1}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (\ln (| x + 1 |) - C)}{- 1}$

Passaggio 5.4.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\ln (| x + 1 |) - C)}{- 1}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (\ln (| x + 1 |) - C)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$

Passaggio 5.4.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$ come $- \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$ .

$y = - \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \ln (\ln (| x + 1 |) + C)$