Calcolo Esempi

$x y^{3} d x + (y + 1) e^{- x} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x y^{3} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(y + 1) e^{- x} d y = - x y^{3} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ .

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $e^{- x}$ da $e^{- x} y^{3}$ .

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $e^{- x}$ da $(y + 1) e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Passaggio 3.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{3}} (y + 1) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{y^{3}}$ per $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

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Passaggio 3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ nel numeratore.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y^{3}$ da $e^{- x} y^{3}$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (x y^{3}) d x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y^{3}$ da $x y^{3}$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

Passaggio 3.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x}} x d x$

Passaggio 3.5

$\frac{- 1}{e^{- x}}$ e $x$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y + 1}{y^{3}} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.2.1.1

Sposta $y^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (y + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y + 1) y^{3 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int (y + 1) y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $(y + 1) y^{- 3}$ .

$\int y \cdot y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $y$ per $y^{- 3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y^{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int y^{1} y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.2.3.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y^{1 - 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.2.3.1.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\int y^{- 2} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $y^{- 3}$ per $1$ .

$\int y^{- 2} + y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y^{- 2} d y + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.2.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 3}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{2} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.2.7

Semplifica.

$- \frac{1}{y} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.2.8

Riordina i termini.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

Passaggio 4.3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.2.1

Nega l'esponente di $e^{- x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $- x \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{1 x} d x$

Passaggio 4.3.2.2.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{x} d x$

Passaggio 4.3.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{4}))$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$