Calcolo Esempi

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x = (1 - \ln (x)) d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Sottrai $(1 - \ln (x)) d y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x - (1 - \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \ln (x) + \frac{y}{x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\ln (x)$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\ln (x)$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y}{x}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x}$

Passaggio 2.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.1

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Passaggio 2.4.2

Somma $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 - \ln (x))]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (1 - \ln (x))$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Passaggio 3.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Passaggio 3.2.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica.

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Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.6.2

Moltiplica $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $\frac{1}{x}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 4.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ è un'identità.

Passaggio 5

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (1 - \ln (x)) d y$

Passaggio 6

Integra $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 6.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = - (1 - \ln (x)) y + C$

Passaggio 6.2

Riscrivi $- (1 - \ln (x)) y + C$ come $(- 1 + \ln (x)) y + C$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + C$

Passaggio 7

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$

Passaggio 8

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Passaggio 9

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 9.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y + g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Passaggio 9.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $(- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Passaggio 9.3

Calcola $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y]$ .

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Passaggio 9.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $(- 1 + \ln (x)) y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Passaggio 9.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 1 + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$y (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Passaggio 9.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Passaggio 9.3.4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$y (0 + \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Passaggio 9.3.5

Somma $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Passaggio 9.3.6

$y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Passaggio 9.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Passaggio 9.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Passaggio 10

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 10.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 10.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 10.1.1.1

Sottrai $\ln (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) = 1 + \frac{y}{x}$

Passaggio 10.1.1.2

Sottrai $\frac{y}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x} = 1$

Passaggio 10.1.1.3

Combina i termini opposti in $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x}$ .

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Passaggio 10.1.1.3.1

Sottrai $\frac{y}{x}$ da $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 - \ln (x) = 1$

Passaggio 10.1.1.3.2

Somma $\frac{d g}{d x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} - \ln (x) = 1$

Passaggio 10.1.2

Somma $\ln (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$

Passaggio 11

Trova l'antiderivata di $1 + \ln (x)$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 11.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \ln (x) d x$

Passaggio 11.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 1 + \ln (x) d x$

Passaggio 11.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (x) = \int d x + \int \ln (x) d x$

Passaggio 11.4

Applica la regola costante.

$g (x) = x + C + \int \ln (x) d x$

Passaggio 11.5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Passaggio 11.6

Semplifica.

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Passaggio 11.6.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Passaggio 11.6.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 11.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Passaggio 11.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int d x$

Passaggio 11.7

Applica la regola costante.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - (x + C)$

Passaggio 11.8

Semplifica.

$g (x) = x + \ln (x) x - x + C$

Passaggio 11.9

Semplifica.

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Passaggio 11.9.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$g (x) = \ln (x) x + 0 + C$

Passaggio 11.9.2

Somma $\ln (x) x$ e $0$ .

$g (x) = \ln (x) x + C$

Passaggio 12

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$

Passaggio 13

Semplifica $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$ .

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Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = - 1 y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

Passaggio 13.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$ .

$f (x, y) = - y + y \ln (x) + x \ln (x) + C$