Calcolo Esempi

$y d x = 2 (x + y) d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $2 (x + y) d y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y d x - 2 (x + y) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - 2 (x + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

Passaggio 3.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 (x + y)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.5

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$1 = - 2$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$1 = - 2$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $- 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 - 1}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $y$ a $M$ .

$\frac{- 2 - 1}{y}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$\frac{- 3}{y}$

Passaggio 5.3.3

Sostituisci $y$ a $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Passaggio 6.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 6.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.6.1

Semplifica $- 3 \ln (| y |)$ spostando $- 3$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Passaggio 6.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Passaggio 6.6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $y d x - 2 (x + y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $y$ per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$y \frac{1}{y^{3}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $y$ da $y^{3}$ .

$y \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Passaggio 7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- 2 (x + y)$ per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x - 2 (x + y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} d x + (- 2 x - 2 y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.5

Moltiplica $- 2 x - 2 y$ per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{- 2 x - 2 y}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.6

Scomponi $2$ da $- 2 x - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x) - 2 y}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.6.2

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x) + 2 (- y)}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.6.3

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (- y)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x - y)}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.7

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x) - y)}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.8

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x) - (y))}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.9

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (y)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x + y))}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.10

Riscrivi $- (x + y)$ come $- 1 (x + y)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- 1 (x + y))}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y^{2}} d x - \frac{2 (x + y)}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y^{2}} d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = \frac{1}{y^{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} x + C$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{y^{2}}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}} + g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{y^{2}} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x}{y^{2}}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi $\frac{1}{y^{2}}$ come ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{2}$ .

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Passaggio 12.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2}$ .

$x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 12.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$x (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.7

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$x (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$x (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 y^{- 3}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x \frac{- 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (- \frac{2}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.2.3

$x$ e $\frac{2}{y^{3}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x}{y^{3}} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Somma $\frac{2 (x + y)}{y^{3}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x}{y^{3}} + \frac{2 (x + y)}{y^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x + 2 (x + y)}{y^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x + 2 x + 2 y}{y^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y}{y^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{y^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.6

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.6.1

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.6.2.1

Scomponi $y$ da $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y \cdot y^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y \cdot y^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2}{y^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.2

Sottrai $\frac{2}{y^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $- \frac{2}{y^{2}}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Passaggio 14.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - \int \frac{2}{y^{2}} d y$

Passaggio 14.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Passaggio 14.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Passaggio 14.6

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Passaggio 14.7

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Passaggio 14.7.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int y^{- 2} d y$

Passaggio 14.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - 2 (- y^{- 1} + C)$

Passaggio 14.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.9.1

Riscrivi $- 2 (- y^{- 1} + C)$ come $- 2 (- \frac{1}{y}) + C$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{y}) + C$

Passaggio 14.9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$g (y) = 2 \frac{1}{y} + C$

Passaggio 14.9.2.2

$2$ e $\frac{1}{y}$ .

$g (y) = \frac{2}{y} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + \frac{2}{y} + C$