Calcolo Esempi

$d x - e^{x} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- e^{x} d y = - d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} (- e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{e^{x}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{e^{x}}$ e $- 1$ .

$- 1 d y = \frac{- 1}{e^{x}} d x$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 1 d y = - \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.2

Applica la regola costante.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 4.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Nega l'esponente di $e^{x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$- y + C_{1} = - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y + C_{1} = - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- y + C_{1} = - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Passaggio 4.3.2.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- y + C_{1} = - \int 1 e^{- x} d x$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$- y + C_{1} = - \int e^{- x} d x$

Passaggio 4.3.3

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.3.3.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.3.3.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- y + C_{1} = - \int - e^{u} d u$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- y + C_{1} = - - \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- y + C_{1} = 1 \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica $\int e^{u} d u$ per $1$ .

$- y + C_{1} = \int e^{u} d u$

Passaggio 4.3.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- y + C_{1} = e^{u} + C_{2}$

Passaggio 4.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$- y + C_{1} = e^{- x} + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- y = e^{- x} + K$

Passaggio 5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = e^{- x} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = e^{- x} + K$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 5.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{e^{- x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$y = - e^{- x} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{K}{- 1}$ .

$y = - e^{- x} - 1 \cdot K$

Passaggio 5.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot K$ come $- K$ .

$y = - e^{- x} - K$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - e^{- x} + K$