Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = y e^{- x^{2}}$ , $y (4) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{- x^{2}})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $y e^{- x^{2}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{- x^{2}}))$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{- x^{2}})$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

$\int e^{- x^{2}} d x$ è un integrale speciale. L'integrale è la funzione degli errori.

$\ln (| y |) + C_{1} = erf (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = erf (x) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e r f (x) + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = e r f (x) + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{e r f (x) + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{e r f (x) + C}$ .

$| y | = e^{e r f (x) + C}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $e r f$ per $x$ .

$| y | = e^{e r f x + C}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{e r f x + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{e r f x + C}$ come $e^{e r f x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{e r f x} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{e r f x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{e r f x}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{e r f x}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $4$ e $y$ con $1$ in $y = C e^{e r f x}$ .

$1 = C e^{e r f \cdot 4}$

Passaggio 6

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ .

$C e^{e r f \cdot 4} = 1$

Passaggio 6.2

Dividi per $e^{e r f \cdot 4}$ ciascun termine in $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ e semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Dividi per $e^{e r f \cdot 4}$ ciascun termine in $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ .

$\frac{C e^{e r f \cdot 4}}{e^{e r f \cdot 4}} = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{e r f \cdot 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{C e^{e r f \cdot 4}}{e^{e r f \cdot 4}} = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $e r f$ .

$C = \frac{1}{e^{4 e r f}}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ a $C$ in $y = C e^{e r f x}$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Sostituisci $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ a $C$ .

$y = \frac{1}{e^{4 e r f}} e^{e r f x}$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{e^{4 e r f}}$ e $e^{e r f x}$ .

$y = \frac{e^{e r f x}}{e^{4 e r f}}$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $e^{e r f x}$ e $e^{4 e r f}$ .

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Passaggio 7.3.1

Scomponi $e^{4 e r f}$ da $e^{e r f x}$ .

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f}}$

Passaggio 7.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f} \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f} \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{e^{e r f x - 4 e r f}}{1}$

Passaggio 7.3.2.4

Dividi $e^{e r f x - 4 e r f}$ per $1$ .

$y = e^{e r f x - 4 e r f}$