Calcolo Esempi

$6 x (y d) x + (4 y + 9 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $6 x y d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(4 y + 9 y^{2}) d y = - 6 x y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (4 y + 9 y^{2}) d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $4 y + 9 y^{2}$ .

$\frac{4 y + 9 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Passaggio 3.2

Scomponi $y$ da $4 y + 9 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $y$ da $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + 9 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $y$ da $9 y^{2}$ .

$\frac{y \cdot 4 + y (9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 4 + y (9 y)$ .

$\frac{y (4 + 9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (4 + 9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Passaggio 3.3.2

Dividi $4 + 9 y$ per $1$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(4 + 9 y) d y = - 6 \frac{1}{y} (x y) d x$

Passaggio 3.5

$- 6$ e $\frac{1}{y}$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (x y) d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (y x) d x$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (y x) d x$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$(4 + 9 y) d y = - 6 x d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 4 + 9 y d y = \int - 6 x d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 4 d y + \int 9 y d y = \int - 6 x d x$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola costante.

$4 y + C_{1} + \int 9 y d y = \int - 6 x d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $y$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$4 y + C_{1} + 9 \int y d y = \int - 6 x d x$

Passaggio 4.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y + C_{1} + 9 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int - 6 x d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Semplifica.

$4 y + 9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int - 6 x d x$

Passaggio 4.2.5.2

$9$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 y + \frac{9}{2} y^{2} + C_{3} = \int - 6 x d x$

Passaggio 4.2.6

Riordina i termini.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \int - 6 x d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 6$ fuori dall'integrale.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 \int x d x$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Passaggio 4.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Riscrivi $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ come $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 4.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

$- 6$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 4.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 4.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 4.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 4.3.3.2.2.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 3 x^{2} + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y = - 3 x^{2} + K$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{9}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y = - 3 x^{2} + K$

Passaggio 5.2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $3 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y + 3 x^{2} = K$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y + 3 x^{2} - K = 0$

Passaggio 5.3

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{9 y^{2}}{2}) + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 5.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{9 y^{2}}{2}) + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$9 y^{2} + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 5.3.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 6 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Passaggio 5.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 6 x^{2} - 2 K = 0$

Passaggio 5.3.3

Sposta $8 y$ .

$9 y^{2} + 6 x^{2} - 2 K + 8 y = 0$

Passaggio 5.3.4

Riordina $9 y^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$6 x^{2} + 9 y^{2} - 2 K + 8 y = 0$

Passaggio 5.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori $a = 9$ , $b = 8$ e $c = 6 x^{2} - 2 K$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (9 \cdot (6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9 \cdot (6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 \cdot (6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 (6 x^{2}) - 36 (- 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.4

Moltiplica $6$ per $- 36$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 216 x^{2} - 36 (- 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 36$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 216 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.6

Scomponi $8$ da $64 - 216 x^{2} + 72 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.6.1

Scomponi $8$ da $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) - 216 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.6.2

Scomponi $8$ da $- 216 x^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) + 8 (- 27 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.6.3

Scomponi $8$ da $72 K$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) + 8 (- 27 x^{2}) + 8 (9 K)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.6.4

Scomponi $8$ da $8 (8) + 8 (- 27 x^{2})$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8 - 27 x^{2}) + 8 (9 K)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.6.5

Scomponi $8$ da $8 (8 - 27 x^{2}) + 8 (9 K)$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.7

Riscrivi $8 (8 - 27 x^{2} + 9 K)$ come $2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.7.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (2) (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 9 K))}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.7.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.7.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.1.9

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{18}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{18}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

Passaggio 5.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + 9 K + 8)} + 4}{9}$

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + 9 K + 8)} + 4}{9}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + K)} + 4}{9}$