Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} + \csc (y) = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Sottrai $\csc (y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d t} = - \csc (y)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\csc (y)} (- \csc (y))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{\csc (y)} \csc (y)$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $\csc (y)$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{\csc (y)}$ nel numeratore.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = - d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int - 1 d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi $\csc (y)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int - 1 d t$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\int 1 \sin (y) d y = \int - 1 d t$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $\sin (y)$ per $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int - 1 d t$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\sin (y)$ rispetto a $y$ è $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int - 1 d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- \cos (y) + C_{1} = - t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \cos (y) = - t + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (y) = - t + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (y) = - t + K$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $\cos (y)$ per $1$ .

$\cos (y) = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\cos (y) = \frac{t}{1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$\cos (y) = t + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = t - 1 \cdot K$

Passaggio 3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot K$ come $- K$ .

$\cos (y) = t - K$

Passaggio 3.2

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$y = \arccos (t - K)$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \arccos (t + K)$