Calcolo Esempi

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x = (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Sottrai $(3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{3} + y^{2} \sin (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{3}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $\sin (x)$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{2} \sin (x)$ rispetto a $y$ è $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) (2 y)$

Passaggio 2.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Sottrai $3 y^{2}$ da $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x y^{2} + 2 y \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Passaggio 3.2.3

Poiché $3 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Passaggio 3.2.6

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y (- \sin (x)))$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} - 2 y \sin (x))$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2}) - (- 2 y \sin (x))$

Passaggio 3.5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} - (- 2 y \sin (x))$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Passaggio 4.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ è un'identità.

Passaggio 5

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

Passaggio 6

Integra $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - \int 3 x y^{2} + 2 y \cos (x) d y$

Passaggio 6.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = - (\int 3 x y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

Passaggio 6.3

Poiché $3 x$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3 x$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - (3 x \int y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

Passaggio 6.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y \cos (x) d y)$

Passaggio 6.5

Poiché $2 \cos (x)$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2 \cos (x)$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) \int y d y)$

Passaggio 6.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Passaggio 6.7

Semplifica.

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + C$

Passaggio 7

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$

Passaggio 8

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 9

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 9.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 9.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 9.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})]$ .

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Passaggio 9.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 9.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y^{3} + \cos (x) y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 9.3.3

Poiché $y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y^{3}$ rispetto a $x$ è $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 9.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 9.3.5

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\cos (x) y^{2}$ rispetto a $x$ è $y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 9.3.6

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 9.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 9.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- y^{3} - (y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 9.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- y^{3} + 1 (y^{2} (\sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 9.5.2.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$- y^{3} + y^{2} \sin (x) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 9.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - y^{3} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Passaggio 10

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 10.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Somma $y^{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3}$

Passaggio 10.1.2

Sottrai $y^{2} \sin (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$

Passaggio 10.1.3

Combina i termini opposti in $x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.3.1

Somma $- y^{3}$ e $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) + 0 - y^{2} \sin (x)$

Passaggio 10.1.3.2

Somma $x + y^{2} \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) - y^{2} \sin (x)$

Passaggio 10.1.3.3

Sottrai $y^{2} \sin (x)$ da $y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Passaggio 10.1.3.4

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Passaggio 11

Trova l'antiderivata di $x$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Passaggio 11.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Passaggio 11.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 12

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13

Semplifica $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = - (x y^{3}) - (\cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13.1.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Passaggio 13.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = - x y^{3} - y^{2} \cos (x) + \frac{x^{2}}{2} + C$