Calcolo Esempi

$\frac{1}{3} \cdot \frac{d y}{d x} = y + \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$ per $3$ .

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Passaggio 1.3

$\frac{1}{3}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{3} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{3} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Passaggio 1.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Passaggio 1.6

$\frac{1}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{x^{2}}{3} e^{3 x} \cdot 3$

Passaggio 1.7

$\frac{x^{2}}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} \cdot 3$

Passaggio 1.8

$\frac{x^{2} e^{3 x}}{3}$ e $3$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{3}{3} x^{2} e^{3 x}$

Passaggio 1.9

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{3}{3} x^{2} e^{3 x}$

Passaggio 1.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 1 x^{2} e^{3 x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 3$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 3 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- 3 x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 3 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- 3 x}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (1 x^{2} e^{3 x})$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (1 x^{2} e^{3 x})$

Passaggio 3.3

Moltiplica $e^{- 3 x}$ per $e^{3 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1

Sposta $e^{3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{3 x} e^{- 3 x} (1 x^{2})$

Passaggio 3.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{3 x - 3 x} (1 x^{2})$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{0} (1 x^{2})$

Passaggio 3.4

Semplifica $e^{0} (1 x^{2})$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = x^{2}$

Passaggio 3.5

Riordina i fattori in $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = x^{2}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = x^{2}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = x^{2}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int x^{2} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- 3 x} y = \int x^{2} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{- 3 x}$ ciascun termine in $e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{- 3 x}$ ciascun termine in $e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 3 x}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.3.1.3

Combina.

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$