Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10}$

Passaggio 1

Integra entrambi i lati rispetto a $x$ .

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Passaggio 1.1

La derivata prima è uguale all'integrale della derivata seconda rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10} d x$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{21}{10}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{21}{10}$ fuori dall'integrale.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 1.3

Sia $u = \sec (x)$ . Allora $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.3.1

Sia $u = \sec (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Differenzia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 1.3.1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int u d u$

Passaggio 1.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Riscrivi $\frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ come $\frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica.

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Passaggio 1.5.2.1

Moltiplica $\frac{21}{10}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10 \cdot 2} u^{2} + C_{1}$

Passaggio 1.5.2.2

Moltiplica $10$ per $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} u^{2} + C_{1}$

Passaggio 1.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (\frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Passaggio 3.2

Applica la regola costante.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.2

Poiché $\frac{21}{20}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{21}{20}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.3

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.4

Applica la regola costante.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$y = \frac{21}{20} \tan (x) + C x + D$