Calcolo Esempi

\frac{d y}{d x} = x y^{3}

$\frac{d y}{d x} = x y^{3}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per

\frac{1}{y^{3}}

$\frac{1}{y^{3}}$ .

\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x y^{3})

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x y^{3})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di

y^{3}

$y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi

y^{3}

$y^{3}$ da

x y^{3}

$x y^{3}$ .

\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{3}} d y = x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta

$y^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di

$- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in

${(y^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica

$3$ per

$- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di

$y^{- 3}$ rispetto a

$y$ è

$- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ come

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica

$\frac{1}{y^{2}}$ per

$\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Sposta

$2$ alla sinistra di

$y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di

$x$ rispetto a

$x$ è

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come

$K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e

$x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 y^{2}, 2, 1$

Passaggio 3.2.2

Poiché

$2 y^{2}, 2, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica

$2, 2, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile

$y^{2}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Poiché

$2$ non presenta fattori eccetto

$1$ e

$2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 3.2.5

Il numero

$1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.6

Il minimo comune multiplo di

$2, 2, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 3.2.7

I fattori di

$y^{2}$ sono

$y \cdot y$ , che corrisponde a

$y$ moltiplicato per i fattori

$2$ volte.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ si verifica

$2$ volte.

Passaggio 3.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di

$y^{2}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y \cdot y$

Passaggio 3.2.9

Moltiplica

$y$ per

$y$ .

$y^{2}$

Passaggio 3.2.10

Il minimo comune multiplo di

$2 y^{2}, 2, 1$ è la parte numerica

$2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 y^{2}$

Passaggio 3.3

Moltiplica per

$2 y^{2}$ ciascun termine in

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ per

$2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di

$2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di

$- \frac{1}{2 y^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = x^{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.3.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Passaggio 3.4.2

Scomponi

$y^{2}$ da

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi

$y^{2}$ da

$x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi

$y^{2}$ da

$2 K y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K) = - 1$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi

$y^{2}$ da

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K)$ .

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$

Passaggio 3.4.3

Dividi per

$x^{2} + 2 K$ ciascun termine in

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi per

$x^{2} + 2 K$ ciascun termine in

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di

$x^{2} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Dividi

$y^{2}$ per

$1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{1}{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Passaggio 3.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Passaggio 3.4.5.2

Ora, usa il valore negativo del

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.