Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y (e^{x} + 4)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Semplifica $y (e^{x} + 4)$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 0 + 0 + y (e^{x} + 4)$

Passaggio 1.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y (e^{x} + 4)$

Passaggio 1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y e^{x} + y \cdot 4$

Passaggio 1.1.1.4

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y e^{x} + 4 y$

Passaggio 1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.1.2.1

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = y e^{x} + 4 y - 4 y$

Passaggio 1.1.2.2

Combina i termini opposti in $y e^{x} + 4 y - 4 y$ .

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Passaggio 1.1.2.2.1

Sottrai $4 y$ da $4 y$ .

$\frac{d y}{d x} = y e^{x} + 0$

Passaggio 1.1.2.2.2

Somma $y e^{x}$ e $0$ .

$\frac{d y}{d x} = y e^{x}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{x})$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $y$ da $y e^{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{x}))$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{x})$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = e^{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = e^{x} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = e^{x} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x} + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{e^{x} + C}$ .

$| y | = e^{e^{x} + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{e^{x} + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{e^{x} + C}$ come $e^{e^{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{e^{x}} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{e^{x}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{e^{x}}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{e^{x}}$