Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Passaggio 1

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - V$

Passaggio 2

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 3

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 4

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - V$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = - V - V$

Passaggio 5.1.1.1.2

Sottrai $V$ da $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - 2 V$

Passaggio 5.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = - 2 V$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = - 2 V$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- 2 V}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- 2 V}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- 2 V}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{x}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} (- \frac{2 V}{x})$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{2 V}{x}$

Passaggio 5.1.3.2

Elimina il fattore comune di $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{V}$ nel numeratore.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{2 V}{x}$

Passaggio 5.1.3.2.2

Scomponi $V$ da $2 V$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{x}$

Passaggio 5.1.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{x}$

Passaggio 5.1.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{2}{x}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{V} d V = - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{V} d V = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2.2

L'integrale di $\frac{1}{V}$ rispetto a $V$ è $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5.2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| V |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 5.2.3.5

Semplifica.

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 5.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| V |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Passaggio 5.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| V |) + 2 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica $\ln (| V |) + 2 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| V |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| V |) + \ln (x^{2}) = C$

Passaggio 5.3.2.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | x^{2}) = C$

Passaggio 5.3.2.1.3

Riordina i fattori in $\ln (| V | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | V |) = C$

Passaggio 5.3.3

Per risolvere per $V$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{2} | V |)} = e^{C}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $\ln (x^{2} | V |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} | V |$

Passaggio 5.3.5

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} | V | = e^{C}$ .

$x^{2} | V | = e^{C}$

Passaggio 5.3.5.2

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} | V | = e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} | V | = e^{C}$ .

$\frac{x^{2} | V |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} | V |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.5.2.2.1.2

Dividi $| V |$ per $1$ .

$| V | = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.5.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$V = \pm \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \pm \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$V = C \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = C \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 7

Risolvi $\frac{y}{x} = C \frac{1}{x^{2}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = C (\frac{1}{x^{2}}) x$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = C (\frac{1}{x^{2}}) x$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = C (\frac{1}{x^{2}}) x$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $C (\frac{1}{x^{2}}) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

$C$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y = \frac{C}{x^{2}} x$

Passaggio 7.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{C}{x \cdot x} x$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{C}{x \cdot x} x$

Passaggio 7.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{C}{x}$