Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + x y^{2}}{y - x^{2} y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $4 x + x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x y^{2}}{y - x^{2} y}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x$ da $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (y^{2})}{y - x^{2} y}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 4 + x (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (4 + y^{2})}{y - x^{2} y}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $x$ per $4 + y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y - x^{2} y}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $y - x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y^{1} - x^{2} y}$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y \cdot 1 - x^{2} y}$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $y$ da $- x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y \cdot 1 + y (- x^{2})}$

Passaggio 1.2.1.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (- x^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y \cdot (1 - x^{2})}$

Passaggio 1.2.1.5

Moltiplica $y$ per $1 - x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y (1 - x^{2})}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y (1^{2} - x^{2})}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y ((1 + x) (1 - x))}$

Passaggio 1.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{y (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + y^{2}}{y}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{y}{4 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 + y^{2}} (\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + y^{2}}{y})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$ per $\frac{4 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 + y^{2}} \cdot \frac{x (4 + y^{2})}{(1 + x) (1 - x) y}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $y$ da $(1 + x) (1 - x) y$ .

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 + y^{2}} \cdot \frac{x (4 + y^{2})}{y ((1 + x) (1 - x))}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 + y^{2}} \cdot \frac{x (4 + y^{2})}{y ((1 + x) (1 - x))}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} \cdot \frac{x (4 + y^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $4 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $4 + y^{2}$ da $x (4 + y^{2})$ .

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} \cdot \frac{(4 + y^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} \cdot \frac{(4 + y^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y}{4 + y^{2}} d y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{4 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = 4 + y^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = 4 + y^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $4 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [4 + y^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Allora $d u_{2} = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 - x$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $1 + x$ .

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.6.3

Riscrivi $- 1 (1 + x)$ come $- (1 + x)$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.1.1.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.1.1.3.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.3.11

Moltiplica $1 - x$ per $1$ .

$- (1 + x) + 1 - x$

Passaggio 2.3.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 - x + 1 - x$

Passaggio 2.3.1.1.4.2.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$- x + 0 - x$

Passaggio 2.3.1.1.4.2.3

Somma $- x$ e $0$ .

$- x - x$

Passaggio 2.3.1.1.4.2.4

Sottrai $x$ da $- x$ .

$- 2 x$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + y^{2} |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 4 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 4 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| 4 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x + x (- x) |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x \cdot x |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - x^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

$\ln (| 1 - x^{2} |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

$C$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 4 + y^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$\ln (| 4 + y^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + 2 C$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 4 + y^{2} |) + \ln (| 1 - x^{2} |) = 2 C$

Passaggio 3.4

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 4 + y^{2} | | 1 - x^{2} |) = 2 C$

Passaggio 3.5

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (4 + y^{2}) (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Passaggio 3.6

Espandi $(4 + y^{2}) (1 - x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 4 (1 - x^{2}) + y^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Passaggio 3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + y^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Passaggio 3.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Passaggio 3.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\ln (| 4 + 4 (- x^{2}) + y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Passaggio 3.7.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} + y^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Passaggio 3.7.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Passaggio 3.8

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} |)} = e^{2 C}$

Passaggio 3.9

Riscrivi $\ln (| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} |) = 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} |$

Passaggio 3.10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Riscrivi l'equazione come $| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$ .

$| 4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$

Passaggio 3.10.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$4 - 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C}$

Passaggio 3.10.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x^{2} + y^{2} - y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4$

Passaggio 3.10.3.2

Somma $4 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Passaggio 3.10.4

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} - y^{2} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.4.1

Moltiplica per $1$ .

$y^{2} \cdot 1 - y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Passaggio 3.10.4.2

Scomponi $y^{2}$ da $- y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Passaggio 3.10.4.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 x^{2})$ .

$y^{2} (1 - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Passaggio 3.10.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y^{2} (1^{2} - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Passaggio 3.10.6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.6.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$y^{2} ((1 + x) (1 - x)) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Passaggio 3.10.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$y^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Passaggio 3.10.7

Dividi per $(1 + x) (1 - x)$ ciascun termine in $y^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.1

Dividi per $(1 + x) (1 - x)$ ciascun termine in $y^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ .

$\frac{y^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.10.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.2.1

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.10.7.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.10.7.2.2

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.10.7.2.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.10.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.7.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.10.8

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 3.10.9

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.9.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 3.10.9.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 3.10.9.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ come $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 3.10.9.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 3.10.9.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.9.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 3.10.9.5.2

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 3.10.9.5.3

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Passaggio 3.10.9.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.10.9.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Passaggio 3.10.9.5.6

Riscrivi ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ come $(1 + x) (1 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.9.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ come ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.10.9.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.10.9.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.10.9.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.9.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.10.9.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Passaggio 3.10.9.5.6.5

Semplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.10.9.6

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$