Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Integra entrambi i lati rispetto a $x$ .

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Passaggio 1.1

La derivata prima è uguale all'integrale della derivata seconda rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{- 2} d x$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{- 1} + C_{1}$

Passaggio 1.4

Riscrivi $- x^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{x} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x} + C_{1}$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (- \frac{1}{x} + C_{1}) d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

Passaggio 3.2

Applica la regola costante.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{2} = - \int \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.4

Applica la regola costante.

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica.

$y + C_{2} = - \ln (| x |) + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.3.6

Riordina i termini.

$y + C_{2} = C_{1} x - \ln (| x |) + C_{5}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$y = C x - \ln (| x |) + D$