Calcolo Esempi

$\frac{d z}{d x} = \frac{z + 4}{2 z - 1} + 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} (\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} (\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} d z = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} d z = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + \frac{2 z - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4 + 2 z - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.1.3

Somma $z$ e $2 z$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 z + 4 - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.1.4

Sottrai $1$ da $4$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 z + 3}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.1.5

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{3 z + 3}{2 z - 1}$ .

$\int 1 \frac{2 z - 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.1.6

Moltiplica $\frac{2 z - 1}{3 z + 3}$ per $1$ .

$\int \frac{2 z - 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi $2 z - 1$ per $3 z + 3$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 z$

$3$

$2 z$

$1$

Passaggio 2.2.2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 z$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 z$ .

					$\frac{2}{3}$
	$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			+	$2 z$	+	$2$

Passaggio 2.2.2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 z + 2$

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			-	$2 z$	-	$2$

Passaggio 2.2.2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			-	$2 z$	-	$2$
					-	$3$

Passaggio 2.2.2.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int \frac{2}{3} - \frac{3}{3 z + 3} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3}{3 z + 3} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ e $3 z + 3$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.4.2.1

Scomponi $3$ da $3 z$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z) + 3} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.4.2.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z) + 3 (1)} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.4.2.3

Scomponi $3$ da $3 (z) + 3 (1)$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z + 1)} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.4.2.4

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z + 1)} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.4.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.5

Applica la regola costante.

$\frac{2}{3} z + C_{1} + \int - \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} z + C_{1} - \int \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Passaggio 2.2.7

Sia $u = z + 1$ . Allora $d u = d z$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.7.1

Sia $u = z + 1$ . Trova $\frac{d u}{d z}$ .

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Passaggio 2.2.7.1.1

Differenzia $z + 1$ .

$\frac{d}{d z} [z + 1]$

Passaggio 2.2.7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $z + 1$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$

Passaggio 2.2.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d z} [1]$

Passaggio 2.2.7.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $1$ rispetto a $z$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{2}{3} z + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{2}{3} z + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Passaggio 2.2.9

Semplifica.

$\frac{2}{3} z - \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Passaggio 2.2.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $z + 1$ .

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) + C_{3} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) + C_{3} = x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) = x + C$