Calcolo Esempi

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$e^{y} d y = \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int e^{y} d y = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.3.2.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 \int u d u$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ come $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{y} + C_{1} = 1 u^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.3

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$e^{y} + C_{1} = u^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \ln^{2} (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$e^{y} = \ln^{2} (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

Passaggio 3.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (\ln^{2} (x) + K)$