Calcolo Esempi

$2 y \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$2 y d y = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 2 y d y = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int y d y = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Passaggio 2.2.3.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 1 + \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 1 + \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3.1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3.1.1.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Passaggio 2.3.1.1.4

Somma $0$ e $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \sin (x)$ .

$y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin (x) |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y^{2} = \ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

Passaggio 3.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.2.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

Passaggio 3.2.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

Passaggio 3.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$