Calcolo Esempi

$3 y - x \frac{d y}{d x} = 6$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $- x$ ciascun termine in $- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $- x$ ciascun termine in $- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{x} + \frac{3 y}{x}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 + 3 y}{x}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $3$ da $- 6 + 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot - 2 + 3 y}{x}$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $3$ da $3 \cdot - 2 + 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot (- 2 + y)}{x}$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 2 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 + y)}{x}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{- 2 + y}$ .

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{3 (- 2 + y)}{x}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $- 2 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $- 2 + y$ da $3 (- 2 + y)$ .

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{(- 2 + y) \cdot 3}{x}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{(- 2 + y) \cdot 3}{x}$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{- 2 + y} d y = \frac{3}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{- 2 + y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = - 2 + y$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = - 2 + y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $- 2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [- 2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [- 2] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{3}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 + y$ .

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| - 2 + y |) = 3 \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| - 2 + y |) - 3 \ln (| x |) = C$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $\ln (| - 2 + y |) - 3 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $- 3 \ln (| x |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| - 2 + y |) - \ln ({| x |}^{3}) = C$

Passaggio 3.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}) = C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}})} = e^{C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} = e^{C}$ .

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} = e^{C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di ${| x |}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| - 2 + y | = e^{C} {| x |}^{3}$

Passaggio 3.5.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.4.1

Riordina i fattori in $e^{C} {| x |}^{3}$ .

$| - 2 + y | = {| x |}^{3} e^{C}$

Passaggio 3.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$- 2 + y = \pm {| x |}^{3} e^{C}$

Passaggio 3.5.4.3

Riordina i fattori in $\pm {| x |}^{3} e^{C}$ .

$- 2 + y = \pm e^{C} {| x |}^{3}$

Passaggio 3.5.4.4

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{3} + 2$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm C {| x |}^{3} + 2$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C {| x |}^{3} + 2$