Calcolo Esempi

$x y^{3} d x + e^{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x y^{3} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x^{2}} d y = - x y^{3} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}}$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}} e^{x^{2}} d y = \frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $e^{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $e^{x^{2}}$ da $e^{x^{2}} y^{3}$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} (y^{3})} e^{x^{2}} d y = \frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}} e^{x^{2}} d y = \frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{3}} d y = - \frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{e^{x^{2}} y^{3}}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{x^{2}} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y^{3}$ da $e^{x^{2}} y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{x^{2}}} (x y^{3}) d x$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $y^{3}$ da $x y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{x^{2}}} (y^{3} x) d x$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{x^{2}}} (y^{3} x) d x$

Passaggio 3.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{x^{2}}} x d x$

Passaggio 3.4

$\frac{- 1}{e^{x^{2}}}$ e $x$ .

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{- x}{e^{x^{2}}} d x$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y^{3}} d y = - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sposta $y^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Passaggio 4.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 3}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Passaggio 4.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Passaggio 4.2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Passaggio 4.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Nega l'esponente di $e^{x^{2}}$ e rimuovilo dal denominatore.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int x {(e^{x^{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x^{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int x e^{x^{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.2.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int x e^{- 1 \cdot x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.2.2.3

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.3

Sia $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sia $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Differenzia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Passaggio 4.3.3.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.3.3.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.3.3.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.3.3.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3.3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Passaggio 4.3.3.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Passaggio 4.3.3.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 4.3.3.1.4.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2} + C_{2})$

Passaggio 4.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Semplifica.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2}) + C_{2}$

Passaggio 4.3.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.1

$u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - - \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Passaggio 4.3.6.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 1 \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Passaggio 4.3.6.2.3

Moltiplica $\frac{u_{2}}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Passaggio 4.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{- x^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C_{2}$

Passaggio 4.3.6.4

Riordina i termini.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{- x^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + K$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 y^{2}, 2, 1$

Passaggio 5.2.2

Poiché $2 y^{2}, 2, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $2, 2, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{2}$ .

Passaggio 5.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.2.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 5.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.2.6

Il minimo comune multiplo di $2, 2, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 5.2.7

I fattori di $y^{2}$ sono $y \cdot y$ , che corrisponde a $y$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 5.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{2}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y \cdot y$

Passaggio 5.2.9

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2}$

Passaggio 5.2.10

Il minimo comune multiplo di $2 y^{2}, 2, 1$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 y^{2}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $2 y^{2}$ ciascun termine in $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + K$ per $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{e^{- x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 y^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{e^{- x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{e^{- x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = \frac{e^{- x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 1 = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = e^{- x^{2}} y^{2} + K (2 y^{2})$

Passaggio 5.3.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = e^{- x^{2}} y^{2} + 2 K y^{2}$

Passaggio 5.3.3.2

Riordina i fattori in $e^{- x^{2}} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

$- 1 = y^{2} e^{- x^{2}} + 2 K y^{2}$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi l'equazione come $y^{2} e^{- x^{2}} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$y^{2} e^{- x^{2}} + 2 K y^{2} = - 1$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} e^{- x^{2}} + 2 K y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} e^{- x^{2}}$ .

$y^{2} (e^{- x^{2}}) + 2 K y^{2} = - 1$

Passaggio 5.4.2.2

Scomponi $y^{2}$ da $2 K y^{2}$ .

$y^{2} (e^{- x^{2}}) + y^{2} (2 K) = - 1$

Passaggio 5.4.2.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} (e^{- x^{2}}) + y^{2} (2 K)$ .

$y^{2} (e^{- x^{2}} + 2 K) = - 1$

Passaggio 5.4.3

Dividi per $e^{- x^{2}} + 2 K$ ciascun termine in $y^{2} (e^{- x^{2}} + 2 K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Dividi per $e^{- x^{2}} + 2 K$ ciascun termine in $y^{2} (e^{- x^{2}} + 2 K) = - 1$ .

$\frac{y^{2} (e^{- x^{2}} + 2 K)}{e^{- x^{2}} + 2 K} = \frac{- 1}{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x^{2}} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (e^{- x^{2}} + 2 K)}{e^{- x^{2}} + 2 K} = \frac{- 1}{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Passaggio 5.4.3.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Passaggio 5.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{1}{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Passaggio 5.4.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{e^{- x^{2}} + 2 K}}$

Passaggio 5.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.