Calcolo Esempi

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 x^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{2}{3 x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{2}{3 x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2}{3 x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$ come $\frac{2}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{3 x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{2}{3 x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{2}{3 x} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $2 (- \frac{2}{3 x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{2}{3 x} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

$- 2$ e $\frac{2}{3 x}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 \cdot 2}{3 x} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$y^{2} = \frac{- 4}{3 x} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{4}{3 x} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4}{3 x} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{4}{3 x} + 2 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $- \frac{4}{3 x} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $2$ da $- \frac{4}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x} + K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 x}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x} + K \cdot \frac{3 x}{3 x})}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$K$ e $\frac{3 x}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x} + \frac{K (3 x)}{3 x})}$

Passaggio 3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 + K (3 x)}{3 x}}$

Passaggio 3.4.4

Sposta $3$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 + 3 K x}{3 x}}$

Passaggio 3.4.5

$2$ e $\frac{- 2 + 3 K x}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 2 + 3 K x)}{3 x}}$

Passaggio 3.4.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 (- 2 + 3 K x)}{3 x}}$ come $\frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$ per $\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}} \cdot \frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x}}$

Passaggio 3.4.8

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$ per $\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x} \sqrt{3 x}}$

Passaggio 3.4.8.2

Eleva $\sqrt{3 x}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{1} \sqrt{3 x}}$

Passaggio 3.4.8.3

Eleva $\sqrt{3 x}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{1} {\sqrt{3 x}}^{1}}$

Passaggio 3.4.8.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.6

Riscrivi ${\sqrt{3 x}}^{2}$ come $3 x$ .

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Passaggio 3.4.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 x}$ come ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.8.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.8.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.8.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{1}}$

Passaggio 3.4.8.6.5

Semplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{3 x}$

Passaggio 3.4.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x) (3 x)}}{3 x}$

Passaggio 3.4.9.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- 2 + 3 K x) x}}{3 x}$

Passaggio 3.4.10

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{6 (- 2 + 3 K x) x}}{3 x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + K x)}}{3 x}$