Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 x e^{- y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (4 x e^{- y})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{e^{- y}} (x e^{- y})$

Passaggio 1.2.2

$4$ e $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{e^{- y}} (x e^{- y})$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $e^{- y}$ da $x e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{e^{- y}} (e^{- y} x)$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{e^{- y}} (e^{- y} x)$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 4 x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = 4 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{- y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- y \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 4 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$e^{y} + C_{1} = 4 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$e^{y} = 2 x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (2 x^{2} + K)$

Passaggio 3.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (2 x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (2 x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (2 x^{2} + K)$