Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{5} - 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 20$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{4} - 60 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 (2 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 60$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 120 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{5} - 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 20$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 60 x^{2}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $15 x^{4} - 60 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 60 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$15 u^{2} - 60 u = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $15 u$ da $15 u^{2} - 60 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $15 u$ da $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 60 u = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Scomponi $15 u$ da $- 60 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 4) = 0$

Passaggio 5.2.3.3

Scomponi $15 u$ da $15 u (u) + 15 u (- 4)$ .

$15 u (u - 4) = 0$

Passaggio 5.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x^{2} - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x^{2} - 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $x^{2} - 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 4$

Passaggio 5.5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 5.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 5.5.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 5.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 2, - 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 2, - 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$60 {(0)}^{3} - 120 \cdot 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$60 \cdot 0 - 120 \cdot 0$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $60$ per $0$ .

$0 - 120 \cdot 0$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 120$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata prima $15 x^{4} - 60 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 15 {(- 4)}^{4} - 60 {(- 4)}^{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 4) = 15 \cdot 256 - 60 {(- 4)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $15$ per $256$ .

$f' (- 4) = 3840 - 60 {(- 4)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = 3840 - 60 \cdot 16$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $- 60$ per $16$ .

$f' (- 4) = 3840 - 960$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $960$ da $3840$ .

$f' (- 4) = 2880$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $2880$ .

$2880$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 1$ , dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata prima $15 x^{4} - 60 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 15 {(- 1)}^{4} - 60 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 1) = 15 \cdot 1 - 60 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $15$ per $1$ .

$f' (- 1) = 15 - 60 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = 15 - 60 \cdot 1$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$f' (- 1) = 15 - 60$

Passaggio 10.3.2.2

Sottrai $60$ da $15$ .

$f' (- 1) = - 45$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $- 45$ .

$- 45$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata prima $15 x^{4} - 60 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 15 {(1)}^{4} - 60 {(1)}^{2}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 15 \cdot 1 - 60 {(1)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $15$ per $1$ .

$f' (1) = 15 - 60 {(1)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 15 - 60 \cdot 1$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$f' (1) = 15 - 60$

Passaggio 10.4.2.2

Sottrai $60$ da $15$ .

$f' (1) = - 45$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $- 45$ .

$- 45$

Passaggio 10.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata prima $15 x^{4} - 60 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 15 {(4)}^{4} - 60 {(4)}^{2}$

Passaggio 10.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f' (4) = 15 \cdot 256 - 60 {(4)}^{2}$

Passaggio 10.5.2.1.2

Moltiplica $15$ per $256$ .

$f' (4) = 3840 - 60 {(4)}^{2}$

Passaggio 10.5.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 3840 - 60 \cdot 16$

Passaggio 10.5.2.1.4

Moltiplica $- 60$ per $16$ .

$f' (4) = 3840 - 960$

Passaggio 10.5.2.2

Sottrai $960$ da $3840$ .

$f' (4) = 2880$

Passaggio 10.5.2.3

La risposta finale è $2880$ .

$2880$

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - 2$ , allora $x = - 2$ è un massimo locale.

$x = - 2$ è un massimo locale

Passaggio 10.7

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 2$ , allora $x = 2$ è un minimo locale.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 10.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$ .

$x = - 2$ è un massimo locale

$x = 2$ è un minimo locale

$x = - 2$ è un massimo locale

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 11