Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $x$ da $x^{2} - 10 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.2

Scomponi $x$ da $- 10 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 10$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x - 10$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 10) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 10)) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + (x - 10) \cdot 1) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.4.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Moltiplica $x - 10$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + x - 10) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.4.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (2 u \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Scomponi $x - 5$ da ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Scomponi $x - 5$ da ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2

Scomponi $x - 5$ da $- 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2.3

Scomponi $x - 5$ da $(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Scomponi $x - 5$ da ${(x - 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.10

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) \cdot 1}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10)}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.1

Espandi $(x - 5) (2 x - 10)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 10) - 5 (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.3

Sposta $- 10$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 \cdot x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.5

Moltiplica $- 5$ per $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.2

Sottrai $10 x$ da $- 10 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.3.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.4

Moltiplica $- 10$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.2.1

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 0 + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2.2

Somma $- 20 x + 50$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2.3

Somma $- 20 x$ e $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2.4

Somma $0$ e $50$ .

$f'' (x) = \frac{50}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Scomponi $x$ da $x^{2} - 10 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4.2

Scomponi $x$ da $- 10 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 10$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x (x - 10) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.3.3

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 10$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 10) = 0$ vera.

$x = 0, 10$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 5)}^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Poni $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 6.2.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 10$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{50}{{((0) - 5)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $5$ da $0$ .

$\frac{50}{{(- 5)}^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{50}{- 125}$

Passaggio 9.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $50$ e $- 125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$\frac{25 (2)}{- 125}$

Passaggio 9.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.1

Scomponi $25$ da $- 125$ .

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

Passaggio 9.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

Passaggio 9.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{- 5}$

Passaggio 9.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{5}$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 5}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 5}$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $5$ da $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 5}$

Passaggio 11.2.3

Dividi $0$ per $- 5$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 10$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{50}{{((10) - 5)}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sottrai $5$ da $10$ .

$\frac{50}{5^{3}}$

Passaggio 13.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{50}{125}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $50$ e $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$\frac{25 (2)}{125}$

Passaggio 13.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Passaggio 13.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Passaggio 13.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{5}$

Passaggio 14

$x = 10$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 10$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f (10) = \frac{{(10)}^{2}}{(10) - 5}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$f (10) = \frac{100}{10 - 5}$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $5$ da $10$ .

$f (10) = \frac{100}{5}$

Passaggio 15.2.3

Dividi $100$ per $5$ .

$f (10) = 20$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $20$ .

$y = 20$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$ .

$(0, 0)$ è un massimo locale

$(10, 20)$ è un minimo locale

Passaggio 17