Calcolo Esempi

$\arctan (- \frac{x}{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(- \frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $- 1$ da $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(- (\frac{x}{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Passaggio 2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola del prodotto a $- (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Passaggio 2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{1 + 1 {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica ${(\frac{x}{2})}^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Passaggio 2.3

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{x}{2})}^{2}) \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $1 + {(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

Passaggio 2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 3.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

Passaggio 3.3.3

$2$ e $\frac{x^{2}}{4}$ .

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

Passaggio 3.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 3.4.2

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + x^{2}}{2}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{\frac{4 + x^{2}}{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (1 \frac{2}{4 + x^{2}})$

Passaggio 3.6

Moltiplica $\frac{2}{4 + x^{2}}$ per $1$ .

$- \frac{2}{4 + x^{2}}$