Calcolo Esempi

$x^{5} + y^{5} = 30 x y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{5} + y^{5}) = \frac{d}{d x} (30 x y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} + y^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} + 5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$5 x^{4} + 5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$5 x^{4} + 5 y^{4} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $30 x y$ rispetto a $x$ è $30 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$30 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$30 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$30 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$30 (x y' + y)$

Passaggio 3.6

Applica la proprietà distributiva.

$30 x y' + 30 y$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$5 x^{4} + 5 y^{4} y' = 30 x y' + 30 y$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $30 x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{4} + 5 y^{4} y' - 30 x y' = 30 y$

Passaggio 5.2

Sottrai $5 x^{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 y^{4} y' - 30 x y' = 30 y - 5 x^{4}$

Passaggio 5.3

Scomponi $5 y'$ da $5 y^{4} y' - 30 x y'$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $5 y'$ da $5 y^{4} y'$ .

$5 y' y^{4} - 30 x y' = 30 y - 5 x^{4}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $5 y'$ da $- 30 x y'$ .

$5 y' y^{4} + 5 y' (- 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $5 y'$ da $5 y' y^{4} + 5 y' (- 6 x)$ .

$5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$

Passaggio 5.4

Dividi per $5 (y^{4} - 6 x)$ ciascun termine in $5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $5 (y^{4} - 6 x)$ ciascun termine in $5 y' (y^{4} - 6 x) = 30 y - 5 x^{4}$ .

$\frac{5 y' (y^{4} - 6 x)}{5 (y^{4} - 6 x)} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y' (y^{4} - 6 x)}{5 (y^{4} - 6 x)} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y^{4} - 6 x)}{y^{4} - 6 x} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{4} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y^{4} - 6 x)}{y^{4} - 6 x} = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{30 y}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $30$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Scomponi $5$ da $30 y$ .

$y' = \frac{5 (6 y)}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{5 (6 y)}{5 (y^{4} - 6 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Scomponi $5$ da $- 5 x^{4}$ .

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (y^{4} - 6 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} + \frac{- x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{6 y}{y^{4} - 6 x} - \frac{x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Passaggio 5.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{6 y - x^{4}}{y^{4} - 6 x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 y - x^{4}}{y^{4} - 6 x}$