Calcolo Esempi

$2 x \sqrt{x} \sin (x)$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

Passaggio 2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x) \sin (x)]$

Passaggio 2.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + 1} \sin (x)]$

Passaggio 2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sin (x)]$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1 + 2}{2}} \sin (x)]$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{\frac{3}{2}} \sin (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 11

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 12

$\sin (x)$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2})$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x)) + 2 \frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 13.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 13.2.1

$2$ e $\frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2}$

Passaggio 13.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{6 (\sin (x) (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$

Passaggio 13.2.3

Scomponi $2$ da $6 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 13.2.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 13.2.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Passaggio 13.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 13.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Passaggio 13.2.4.4

Dividi $3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + 3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 13.3

Riordina i termini.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$