Calcolo Esempi

$y = \sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$ come ${(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + \tan^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Passaggio 4.6

Differenzia.

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Passaggio 4.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Passaggio 4.6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.6.2.1

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Passaggio 4.6.2.2

Sposta ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Passaggio 4.6.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \tan^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

Passaggio 4.6.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

Passaggio 4.6.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Passaggio 4.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Passaggio 4.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Passaggio 4.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Passaggio 4.8

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.8.1

$2$ e $\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Passaggio 4.8.2

$\tan (x)$ e $\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (x) \cdot 2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 4.8.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan (x)$ .

$\frac{2 \cdot \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 4.8.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 4.8.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 4.9

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \sec^{2} (x)$

Passaggio 4.10

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.11

Semplifica.

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Passaggio 4.11.1

Riordina i termini.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.11.2

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\tan^{2} (x) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.11.3

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.11.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.11.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 4.11.4.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 4.11.4.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec^{1} (x)}$

Passaggio 4.11.4.2

Semplifica.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec (x)}$

Passaggio 4.11.5

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (x)$ e $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.5.1

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x)}$

Passaggio 4.11.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.11.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

Passaggio 4.11.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

Passaggio 4.11.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{1}$

Passaggio 4.11.5.2.4

Dividi $\sec (x) \tan (x)$ per $1$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$