Calcolo Esempi

$y = \frac{6}{5} - \frac{6}{5} e^{- 20 t}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{6}{5} - \frac{6}{5} e^{- 20 t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\frac{6}{5}] + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{6}{5}] + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{6}{5}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{6}{5}$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $- \frac{6}{5}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{6}{5} e^{- 20 t}$ rispetto a $t$ è $- \frac{6}{5} \frac{d}{d t} [e^{- 20 t}]$ .

$0 - \frac{6}{5} \frac{d}{d t} [e^{- 20 t}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 20 t$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 20 t$ .

$0 - \frac{6}{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{u} \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 20 t$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Passaggio 2.3

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 20 t$ rispetto a $t$ è $- 20 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} (- 20 \frac{d}{d t} [t]))$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} (- 20 \cdot 1))$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 20$ per $1$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} \cdot - 20)$

Passaggio 2.6

Sposta $- 20$ alla sinistra di $e^{- 20 t}$ .

$0 - \frac{6}{5} (- 20 \cdot e^{- 20 t})$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 20$ per $- 1$ .

$0 + 20 (\frac{6}{5}) e^{- 20 t}$

Passaggio 2.8

$20$ e $\frac{6}{5}$ .

$0 + \frac{20 \cdot 6}{5} e^{- 20 t}$

Passaggio 2.9

Moltiplica $20$ per $6$ .

$0 + \frac{120}{5} e^{- 20 t}$

Passaggio 2.10

$\frac{120}{5}$ e $e^{- 20 t}$ .

$0 + \frac{120 e^{- 20 t}}{5}$

Passaggio 2.11

Elimina il fattore comune di $120$ e $5$ .

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Passaggio 2.11.1

Scomponi $5$ da $120 e^{- 20 t}$ .

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5}$

Passaggio 2.11.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.11.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5 (1)}$

Passaggio 2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5 \cdot 1}$

Passaggio 2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{24 e^{- 20 t}}{1}$

Passaggio 2.11.2.4

Dividi $24 e^{- 20 t}$ per $1$ .

$0 + 24 e^{- 20 t}$

Passaggio 3

Somma $0$ e $24 e^{- 20 t}$ .

$24 e^{- 20 t}$