Calcolo Esempi

$7 \ln (x^{2} y^{2}) = 6$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (7 \ln (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 \ln (x^{2} y^{2})$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$7 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{1}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Passaggio 2.3

$\frac{1}{x^{2} y^{2}}$ e $7$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.7

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Passaggio 2.9

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1

$2$ e $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{14}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.3

$x^{2}$ e $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} (y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.4

$y$ e $\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}} y' + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.5

$\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}}$ e $y'$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 14) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.6

Sposta $14$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{y (14 \cdot x^{2}) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.7

Sposta $14$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{14 \cdot y x^{2} y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.8

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.8.1

Scomponi $y$ da $14 y x^{2} y'$ .

$\frac{y (14 x^{2} y')}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.8.2.1

Scomponi $y$ da $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.9

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.10

$2$ e $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.11

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

Passaggio 2.10.2.12

$y^{2}$ e $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} x$

Passaggio 2.10.2.13

$\frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ e $x$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14 x}{x^{2} y^{2}}$

Passaggio 2.10.2.14

Sposta $14$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 \cdot y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

Passaggio 2.10.2.15

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.15.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

Passaggio 2.10.2.15.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 x}{x^{2}}$

Passaggio 2.10.2.16

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.16.1

Scomponi $x$ da $14 x$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x^{2}}$

Passaggio 2.10.2.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.16.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

Passaggio 2.10.2.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

Passaggio 2.10.2.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x}$

Passaggio 3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $\frac{14}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{14 y'}{y} = - \frac{14}{x}$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

Passaggio 5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$14 y' = - \frac{14}{x} y$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica $- \frac{14}{x} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

$y$ e $\frac{14}{x}$ .

$14 y' = - \frac{y \cdot 14}{x}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Sposta $14$ alla sinistra di $y$ .

$14 y' = - \frac{14 y}{x}$

Passaggio 5.4

Dividi per $14$ ciascun termine in $14 y' = - \frac{14 y}{x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $14$ ciascun termine in $14 y' = - \frac{14 y}{x}$ .

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = - \frac{14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Passaggio 5.4.3.2

Elimina il fattore comune di $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{14 y}{x}$ nel numeratore.

$y' = \frac{- 14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Scomponi $14$ da $- 14 y$ .

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Passaggio 5.4.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Passaggio 5.4.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y}{x}$

Passaggio 5.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$