Calcolo Esempi

$y = \arctan (3 x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (3 x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{1 + {(3 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{1}{1 + {(3 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $3 (x)$ .

$\frac{1}{1 + 3^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.2.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.4

$3$ e $\frac{1}{1 + 9 x^{2}}$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{2}} \cdot 1$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $\frac{3}{1 + 9 x^{2}}$ per $1$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{2}}$

Passaggio 3.2.6.2

Riordina i termini.

$\frac{3}{9 x^{2} + 1}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{3}{9 x^{2} + 1}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{9 x^{2} + 1}$