Calcolo Esempi

$y = \frac{x}{e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x}{e^{x}})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\frac{e^{x} x' - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{u} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Riordina i termini.

$\frac{e^{x} x' - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.2.1

Scomponi $x'$ da $e^{x} x' - e^{x} x x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Scomponi $x'$ da $e^{x} x'$ .

$\frac{x' e^{x} - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Scomponi $x'$ da $- e^{x} x x'$ .

$\frac{x' e^{x} + x' (- e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.2.1.3

Scomponi $x'$ da $x' e^{x} + x' (- e^{x} x)$ .

$\frac{x' (e^{x} - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} - e^{x} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} x$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x))}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.2.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x)$ .

$\frac{x' (e^{x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

$\frac{x' e^{x} (1 - x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.3

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Passaggio 3.6.3.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $x' e^{x} (1 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 3.6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 3.6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{1}$

Passaggio 3.6.3.2.4

Dividi $x' e^{- x} (1 - x)$ per $1$ .

$x' e^{- x} (1 - x)$

Passaggio 3.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$

Passaggio 3.6.5

Moltiplica $x'$ per $1$ .

$x' e^{- x} + x' e^{- x} (- x)$

Passaggio 3.6.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x' e^{- x} - x' e^{- x} x$

Passaggio 3.6.7

Riordina i fattori in $x' e^{- x} - x' e^{- x} x$ .

$e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$ .

$e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori in $e^{- x} x' - x e^{- x} x'$ .

$x' e^{- x} - x x' e^{- x} = 1$

Passaggio 5.3

Scomponi $x' e^{- x}$ da $x' e^{- x} - x x' e^{- x}$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $x' e^{- x}$ da $x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} \cdot 1 - x x' e^{- x} = 1$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x' e^{- x}$ da $- x x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x) = 1$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x' e^{- x}$ da $x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$ .

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$

Passaggio 5.4

Dividi per $e^{- x} (1 - x)$ ciascun termine in $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $e^{- x} (1 - x)$ ciascun termine in $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ .

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

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Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$