Calcolo Esempi

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}{lim_{x \to - \infty} x}$

Passaggio 1.1.2

Poiché l'esponente $- x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{- x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x}$

Passaggio 1.1.3

Il limite a meno infinito di un polinomio con grado dispari il cui coefficiente direttivo è meno infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{\infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 \cdot e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $- e^{- x}$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} - e^{- x}$

Passaggio 2

Poiché la funzione $e^{- x}$ tende a $\infty$ , la costante negativa $- 1$ moltiplicata per la funzione tende a $- \infty$ .

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Passaggio 2.1

Considera il limite con il multiplo costante $- 1$ rimosso.

$lim_{x \to - \infty} e^{- x}$

Passaggio 2.2

Poiché l'esponente $- x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{- x}$ tende a $\infty$ .

$\infty$

Passaggio 2.3

Poiché la funzione $e^{- x}$ tende a $\infty$ , la costante negativa $- 1$ moltiplicata per la funzione tende a $- \infty$ .

$- \infty$