Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0^{+}} {(3 x + 1)}^{\cot (x)}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(3 x + 1)}^{\cot (x)}$ come $e^{\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})$ spostando $\cot (x)$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (3 x + 1)}$

Passaggio 2

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (3 x + 1)}$

Passaggio 3

Riscrivi $\cot (x) \ln (3 x + 1)$ come $\frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (3 x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 4.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 3 x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Passaggio 4.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{\ln (3 \cdot 0 + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$e^{\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Passaggio 4.1.2.3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.3.1

Applica le identità trigonometriche.

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Passaggio 4.1.3.1.1

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}}$

Passaggio 4.1.3.1.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Passaggio 4.1.3.1.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}}$

Passaggio 4.1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$e^{\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Passaggio 4.1.3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{0}{\tan (0)}}$

Passaggio 4.1.3.4

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 4.1.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x + 1$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Passaggio 4.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Passaggio 4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Passaggio 4.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Passaggio 4.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Passaggio 4.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Passaggio 4.3.8

Somma $3$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Passaggio 4.3.9

$\frac{1}{3 x + 1}$ e $3$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Passaggio 4.3.10

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}]}}$

Passaggio 4.3.11

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 4.3.12

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 4.3.13

Semplifica.

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Passaggio 4.3.13.1

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 4.3.13.2

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Passaggio 4.3.14

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.15

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.16

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.17

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.19

Somma $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.20

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.21

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.22

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.23

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.24

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.25

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.26

Somma $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.27

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.27.1

Rimetti in ordine i termini.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.3.27.2

Applica l'identità pitagorica.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{3}{3 x + 1} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.5

$\frac{3}{3 x + 1}$ e $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 \cos^{2} (x)}{3 x + 1}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{3 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} (x)}{3 x + 1}}$

Passaggio 5.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{3 \frac{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

Passaggio 5.3

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$e^{3 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

Passaggio 5.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

Passaggio 5.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

Passaggio 5.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

Passaggio 5.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Passaggio 6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{3 \frac{\cos^{2} (0)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{3 \frac{\cos^{2} (0)}{3 \cdot 0 + 1}}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$e^{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 0 + 1}}$

Passaggio 7.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e^{3 \frac{1}{3 \cdot 0 + 1}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$e^{3 \frac{1}{0 + 1}}$

Passaggio 7.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$e^{3 (\frac{1}{1})}$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune.

$e^{3 (\frac{1}{1})}$

Passaggio 7.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{3 \cdot 1}$

Passaggio 7.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$e^{3}$