Calcolo Esempi

$P (x) = - x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ , $x \geq 5$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $\frac{27}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{27}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.3.3

$2$ e $\frac{27}{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 27}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.3.4

Moltiplica $2$ per $27$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.3.5

$\frac{54}{2}$ e $x$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54 x}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.3.6

Elimina il fattore comune di $54$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.6.1

Scomponi $2$ da $54 x$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27 x}{1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.3.6.2.4

Dividi $27 x$ per $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60 x$ rispetto a $x$ è $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.4.3

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + \frac{d}{d x} (100)$

Passaggio 1.1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Poiché $100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $100$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + 0$

Passaggio 1.1.1.5.2

Somma $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $P (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $- 3$ da $27 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 60 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $- 3$ da $- 60$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Scomponi $- 3$ da $- 3 (x^{2}) - 3 (- 9 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.5

Scomponi $- 3$ da $- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 (20)$ .

$- 3 (x^{2} - 9 x + 20) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 9 x + 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $20$ e la cui somma è $- 9$ .

$- 5, - 4$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 3 ((x - 5) (x - 4)) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$ vera.

$x = 5, 4$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $x$ per $5$ .

$- {(5)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $125$ .

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot 25 - 60 \cdot 5 + 100$

Passaggio 1.4.1.2.1.4

Moltiplica $\frac{27}{2} \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.4.1

$\frac{27}{2}$ e $25$ .

$- 125 + \frac{27 \cdot 25}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Passaggio 1.4.1.2.1.4.2

Moltiplica $27$ per $25$ .

$- 125 + \frac{675}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Passaggio 1.4.1.2.1.5

Moltiplica $- 60$ per $5$ .

$- 125 + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Passaggio 1.4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Scrivi $- 125$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 125}{1} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 125}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Passaggio 1.4.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 125}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Passaggio 1.4.1.2.2.4

Scrivi $- 300$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} + 100$

Passaggio 1.4.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 300}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} \cdot \frac{2}{2} + 100$

Passaggio 1.4.1.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 300}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + 100$

Passaggio 1.4.1.2.2.7

Scrivi $100$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1}$

Passaggio 1.4.1.2.2.8

Moltiplica $\frac{100}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.4.1.2.2.9

Moltiplica $\frac{100}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100 \cdot 2}{2}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 125 \cdot 2 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

Passaggio 1.4.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $- 125$ per $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Moltiplica $- 300$ per $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 100 \cdot 2}{2}$

Passaggio 1.4.1.2.4.3

Moltiplica $100$ per $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 200}{2}$

Passaggio 1.4.1.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.5.1

Somma $- 250$ e $675$ .

$\frac{425 - 600 + 200}{2}$

Passaggio 1.4.1.2.5.2

Sottrai $600$ da $425$ .

$\frac{- 175 + 200}{2}$

Passaggio 1.4.1.2.5.3

Somma $- 175$ e $200$ .

$\frac{25}{2}$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $x$ per $4$ .

$- {(4)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot 16 - 60 \cdot 4 + 100$

Passaggio 1.4.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 (8)) - 60 \cdot 4 + 100$

Passaggio 1.4.2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 60 \cdot 4 + 100$

Passaggio 1.4.2.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 64 + 27 \cdot 8 - 60 \cdot 4 + 100$

Passaggio 1.4.2.2.1.5

Moltiplica $27$ per $8$ .

$- 64 + 216 - 60 \cdot 4 + 100$

Passaggio 1.4.2.2.1.6

Moltiplica $- 60$ per $4$ .

$- 64 + 216 - 240 + 100$

Passaggio 1.4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Somma $- 64$ e $216$ .

$152 - 240 + 100$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Sottrai $240$ da $152$ .

$- 88 + 100$

Passaggio 1.4.2.2.2.3

Somma $- 88$ e $100$ .

$12$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(5, \frac{25}{2}), (4, 12)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(5, \frac{25}{2})$

Passaggio 3

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 4

Confronta i valori $P (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $P (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $P (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(5, \frac{25}{2})$

Nessun minimo assoluto

Passaggio 5